Question

设直线过抛物线C：y^2=2px(p>0)的焦点F,且交C于点M,N,设向量MF=λFN（λ>0).1.若p=2,λ=4

Answer 1

由已知y²=4x

焦点F(1,0)

可设直线MN为：y=k(x-1)

设交点M(x1,y1) N(x2,y2)

因MF=4FN

即(1-x1,-y1)=4(x2-1,y2)=(4x2-4,4y2)

则1-x1=4x2-4 x1+4x2=5 (1)

将y=k(x-1)代入y²=4x

k²x²-(2k²+4)x+k²=0

由韦达定理知 x1+x2=2+4/k² (2)

x1*x2=1 (3)

(1)(3)解得x2=1或1/4

对应的x1=1或4

分别代入(2) 2+4/k²=2 无解

又2+4/k²=4+1/4 解得k=±4/3

故MN方程为y=±(4/3)(x-1)

即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0