1、f(x)=(x^2+1)/(3*2^x-1)定义域为3*2^x-1≠0,解得x≠-ln3/ln2∴x->-ln3/ln2时,有limf(x)=lim[(x^2+1)/0]=∞即x=-ln3/ln2为f(x)的一条垂直渐近线
易知,当x左趋近-ln3/ln2时,有limf(x)=-∞ 当x右趋近-ln3/ln2时,有limf(x)=+∞又x->+∞时,有limf(x)=lim[(x^2+1)/(3*2^x-1)]=lim[2x/(3*2^x*ln2)]=lim[2/(3*2^x*ln2*ln2)=0∴y=0为f(x)的一条水平渐近线∴f(x)在(-ln3/ln2,+∞)上的值域为(0,+∞)又x->-∞时,有limf(x)=lim[(x^2+1)/(3*2^x-1)]=lim[(x^2+1)/(3*0-1)]=-lim[(x^2+1)]=-∞又知,当x左趋近-ln3/ln2时,有limf(x)=-∞故f(x)在(-∞,-ln3/ln2)上必然存在一极大值f'(x)=[2x*(3*2^x-1)-(x^2+1)*3*2^x*ln2]/(3*2^x-1)^2令f'(x)=0可解得x=-2.61 (这是一超越方程,无解析解,暂用数值解)f(-2.61)=-15.36∴f(x)在(-∞,-ln3/ln2)上的值域为(-∞,-15.36)综上所述,f(x)的值域为(-∞,-15.36)∪(0,+∞)2、y=√(x-1)/(x+2) 定义域为x≥1当x->+∞时,limy=lim[√(x-1)/(x+2)]=lim[1/2*1/√(x-1)]=0∴当x->+∞时,y有一条水平渐近线y=0又y(1)=0,∴y在[1,+∞)上必然存在极值点y'(x)=[1/2*1/√(x-1)*(x+2)-√(x-1)]/(x+2)^2令y'(x)=0可解得 x=4y(4)=√(4-1)/(4+2)=√3/6∴y的值域为[0,√3/6]3、如图,x,y的关系满足椭圆方程：x^2/3^2+(y-9/2)^2/(9/2)^2=1即(x,y)所表示的点落在椭圆上又H=3x+4y-1表示斜率为-3/4且与椭圆相交的直线由图易知,H的取值范围与椭圆相切的两条直线的截距相关设与切线平行的直线方程为y=-3/4*x+b
带入椭圆,整理可得5x^2/16+(3/4-b/6)x+(b^2/9-b)=0
直线与椭圆相切时,x有唯一解此时,△=(3/4-b/6)^2-4*5/16*(b^2/9-b)=0易解得 b1=9/4*(2-√5),b2=9/4*(2+√5)又y=-3/4*x+b=-3/4*x+(H+1)/4∴H=4b-1即有 H1=17-√5,H2=17+√5∴H的值域为[17-√5,17+√5]