Question

（2010•湖北模拟）如图是一个三角形数阵（x≠0，-1），从第二行起每个数都等于它肩上两个数的和，第k行的第一个数为a

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）写出a_k关于k的表达式：a_k=f（k）；通过排布找规律，归纳得出1，1+x，（1+x）²，再由等比数列通项公式得出．

（Ⅱ）求第k行中所有数的和T_k；通过总结第一行，第二行，第三行的数的规律，总结归纳出，各行数成等比数列，利用等比数列求和公式求得．

（Ⅲ）当x=1时，求数阵中所有数的和S_n=T₁+T₂+…+T_n，x=1代入，得到一个数列的和，利用分组求和与错位相减法求和可求得．

（Ⅰ）由数阵的排布规律可知：a₁=1=（1+x）⁰，a₂=（1+x）¹，a₃=1+x+x+x²=（1+x）²，

a₄=（1+x）²+x+2x²+x³=（1+x）²+x（1+x）²=（1+x）³，…

猜想：a_k=（1+x）^k-1（1≤k≤n）．（3分）

（Ⅱ）由数阵的排布规律可知：

第1行：1，x，x²，…，x^n-1

第2行：1+x，x（1+x），x²（1+x），…

第3行：（1+x）²，x（1+x）²，x²（1+x）²，…

因为x≠0，-1；所以数阵中除第n，n-1行外，其余各行均为等比数列，

且公比为x，又第k行的首项为a_k，项数为n-k+1，

∴当k≠n，n-1，且x≠1时Tk＝

ak(xn−k+1−1)

x−1＝

(1+x)k−1(xn−k+1−1)

x−1①

当k≠n，n-1，且x=1时，第k行为常数列，2^k-1，2^k-1，…，2^k-1（共有n-k+1行）

∴T_k=（n-k+1）•2^k-1②

又当k=n时，a_k=a_n=（1+x）^n-1

当x≠1时，①式为T_n=（1+x）^n-1=a_n

当x=1时，②式为T_n=2^n-1=a_n

当k=n-1时，由排布规律可知，第n-1行两个数之和为a_n=（1+x）^n-1

而在①式中，即x≠1时，Tn−1＝

(1+x)n−2(x2−1)

x−1＝(1+x)n−1＝an

在②式中，即x=1时T_n-1=2•2^n-2=2^n-1=a_n

即当1≤k≤n，n≥2时，都有Tk＝

(1+x)k−1(xn−k+1−1)

x−1，(x≠1)

(n−k+1)•2k−1，(x＝1)（9分）

（Ⅲ）当x=1时，T_k=（n-k+1）•2^k-1=n•2^k-1-（k-1）•2^k-1

∴S_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n=n（1+2+2²+…+2^n-1）-[1•2+2•2²+…+（n-1）2^n-1]，

在上式中，前面一部分直接用等比数列求和公式求得和为n（2ⁿ-1），

后一部分可用错位相减法求得和为（n-2）•2ⁿ+2；

∴S_n=n（2ⁿ-1）-（n-2）•2ⁿ+2=2ⁿ⁺¹-n-2（n≥2）． （13分）

点评：

本题考点： 数列的应用．

考点点评： 本题属于数列综合应用题，考查了归纳推理能力，等比数列通项公式，等比数列求和公式，及数列求和的其它方法，灵活性强，计算量大．