Question

（2014•天津二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=9-an，bn=3-2log3an．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）：由2S_n=9-a_n仿写出2S_n-1=9-a_n-1，两式相减得到

a

n

＝

1

3

a

n−1

(n≥2)

，判定出数列{a_n}是以3为首项，[1/3]为公比的等比数列，利用公式求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）由9Ⅰ）求出c_n=

b

n

a

n

=

1

9

(2n−1)×

3

n

，利用错位相减求出数列{c_n}的前n项和T_n；

（Ⅲ）利用数列单调性的定义，判定出数列{a_2nb_n}为单调递减数列；求出数列的最大值为 a₂b₁，证明出不等式．

解（Ⅰ）：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=9-a_n①，

∴n≥2时，2S_n-1=9-a_n-1②，

①-②得2a_n=-a_n+a_n-1（n≥2），

∴an＝

1

3an−1(n≥2)

又∵n=1时2S₁=2a₁=9-a₁，

∴a₁=3

∴数列{a_n}是以3为首项，[1/3]为公比的等比数列，

∴an＝3•(

1

3)n−1＝32−n；

b_n=3-2log₃a_n=2n-1，

∴{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．

∴an＝32−n，bn＝2n−1

（Ⅱ）∵c_n=

b n

a n=[1/9(2n−1)×3n，

∴Tn＝

1

9[1×31+3×32+…+(2n−3)×3n−1+（2n-1）×3ⁿ]③

3Tn＝

1

9[1×32+3×33+…+(2n−3)×3n+（2n-1）×3ⁿ⁺¹]④

③-④得−2Tn＝

1

9[1×3+2(32+33+…+3n)-（2n-1）×3ⁿ⁺¹]

=

1

9[3+

18(1−3n−1)

1−3−(2n−1)×3n+1]

=

1

3[(2−2n)3n−2]

∴Tn＝(n−1)•3n−1+

1

3]

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知a_2nb_n=9×(

1

3)2n×(2n−1)

∵a_2（n+1）b_n+1-a_2nb_n=9(

1

3)2n+2×(2n+1)−9(

1

3)2n×(2n−1)=(

1

3)2n(10−16n)＜0

∴数列{a_2nb_n}为单调递减数列；

∴当n≥2时，a_2nb_n

点评：
本题考点： 数列的求和；数列与函数的综合．

考点点评： 此题考查已知数列的递推关系求出数列的通项公式的知识点，属于中档题．准确运用等差、等比数列的通项与求和公式，利用错位相减法求和，是解决本题的关键．