（1）如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD ∥ BC ∥ GF，
∴∠DAM=∠HFM，
∵M是线段AF的中点，
∴AM=FM，
在△ADM和△FHM中，
∠DAM=∠HFM
AM=FM
∠AMD=∠FMH ，
∴△ADM≌△FHM（ASA），
∴DM=HM，AD=FH，
∵GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF，
∴GD=GH，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；
（2）如图2，延长DM交CF于H，连接GD，GH，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
∵CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，
∴∠DCG=90°-45°=45°，
∠HFG=45°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，
CD=FH
∠DCG=∠HFG
CG=FG ，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；
（3）如图3，过点F作FH ∥ AD交DM的延长线于H，交DC的延长线于N，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
易得∠NCE=∠EFN，
∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°，
∠HFG+∠EFN=90°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，
CD=FH
∠DCG=∠HFG
CG=FG ，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG．