设f(x)的原函数为F(x),F(x)的原函数为P(x).
由∫(0到1)f(x)dx=0知道F(1)-F(0)=0,即F(1)=F(0).由于原函数相差一个常数仍然是原函数,故不妨取F(1)=F(0)=0.
∫x f(x)dx分部积分后得到xF(x)-∫F(x)dx=xF(x)-P(x).
代入定积分上下限后得-P(1)+P(0)=0,即P(0)=P(1)
由罗尔中值定理,存在c属于(0,1),使得P'(c)=F(c)=0
再由罗尔中值定理,存在x1属于(0,c),x2属于(c,1),使得F'(x1)=f(x1)=0,F'(x2)=f(x2)=0
故f(x)在(0,1)内至少存在2个零点x1,x2.