解题思路：（1）根据an，sn，
a
2
n
成等差数列，可得2Sn=an+
a
2
n
，再写一式，两式相减，可得{an}是公差为1的等差数列，从而可求通项an；
（2）由（1）知，
S
n
＝
n(n+1)
2
，从而
f(n)＝
S
n
(n+50)
S
n+1
=[1
n+
100/n
+52]，利用基本不等式，即可求f（n）的最大值．
（1）∵an，sn，
a2n成等差数列
∴2Sn=an+
a2n，
∴n≥2时，2Sn-1=an-1+
a2n−1，
两式相减得：2an=an2+an-
a2n−1-an-1，
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0
∵数列{an}为正项数列，∴an-an-1=1
即{an}是公差为1的等差数列
又2a1=a12+a1，∴a1=1
∴an=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）知，Sn＝
n(n+1)
2，
∴f(n)＝
Sn
(n+50)Sn+1=[n
n2+52n+100=
1
n+
100/n+52]≤[1/72]
当且仅当n=10时，f（n）有最大值[1/72]．
点评：
本题考点： 数列与函数的综合；等差数列的性质．
考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定数列为等差数列，利用基本不等式求最值．
1年前
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