解题思路：（1）先确定函数解析式，求出切点的坐标，再求出函数的导数后代入求出f′（3），即为所求的切线斜率，再代入点斜式进行整理即可；
（2）存在x＜0，使得f′（x）=x2-（a+1）x=-9，可得a+1=x+[9/x]，即可求a的最大值；
（3）当a＞-1时，分类讨论，确定函数的极大值与极小值，即可确定函数f（x）的零点个数．
（1）∵f（x）=[1/3]x3-[a+1/2]x2+bx+a，
∴f′（x）=x2-（a+1）x+b，
∵导函数f′（x）的图象过原点，
∴f′（0）=0，
∴b=0，
a=1时，f′（x）=x2-2x，
∴f′（3）=3，
∵f（3）=1，
∴切线方程为3x-y-8=0；
（2）存在x＜0，使得f′（x）=x2-（a+1）x=-9，
∴a+1=x+[9/x]，
∵x＜0，∴x+[9/x]≤-6，
∴a≤-7，
∴a的最大值为-7；
（3）f′（x）=x2-（a+1）x=x[x-（a+1）]．
-1＜a＜0时，f（0）=a＜0，f（a+1）＜0，∴零点1个；
a=0时，f（a+1）＜0，f（[3/2]）=0，f（3）＞0，零点两个；
a＞0时，f（0）=a＞0，f（a+1）＜0，零点三个．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查根的存在性及根的个数判断，考查分类讨论的数学思想，难度中等．