Question

已知函数f（x）=g（x）+h（x），其中，g（x）是正比例函数，h（x）是反比例函数，且函数f（x）的图象经过A（1，

Answer 1

解题思路：（1）设g（x）=ax（a≠0），h（x）=[b/x]（b≠0），则f（x）=ax+[b/x]，由图象所过点A、B可得方程组，解出即可；

（2）设任意x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，利用作差法证明f（x₁）＜f（x₂）即可；

（1）设g（x）=ax（a≠0），h（x）=[b/x]（b≠0），则f（x）=ax+[b/x]，

∵f（x）的图象经过A（1，3）、B（[1/2]，3）两点．

∴f（1）=3，f（[1/2]）=3，即

a+b＝3

1

2a+2b＝3，解得

a＝2

b＝1，

∴f（x）=2x+[1/x]；

（2）设任意x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，

则f（x₁）-f（x₂）=（2x1+

1

x1）-（2x2+

1

x2）=2（x₁-x₂）+

x2−x1

x1x2=

(x1−x2)(2x1x2−1)

x1x2，

∵1≤x₁＜x₂，

∴x₁-x₂＜0，2x₁x₂-1

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题考查待定系数法求函数解析式、函数单调性的证明，属基础题，证明函数单调性的基本方法是定义法、导数法．