解题思路：（1）根据垂径定理可得弦AB的垂直平分线必然过圆心，故利用线段中点坐标公式求出AB的中点坐标，由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出线段AB垂直平分线的斜率，由求出的斜率与AB的中点坐标得出线段AB的垂直平分线方程，又圆心在x轴上，令求出的直线方程中y=0，求出x的值，可确定出圆心C的坐标，再由A和C的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长，即为圆C的半径，由圆心和半径写出圆C的标准方程即可．
（2）求出圆的圆心坐标，利用圆与直线相切，求出圆的半径，即可得到圆的方程．
（1）∵A（5，1），B（1，3），
∴线段AB的中点坐标为（[5+1/2]，[1+3/2]），即（3，2），
直线AB的斜率kAB=[3−1/1−5]=-[1/2]，
∴线段AB垂直平分线的方程为y-2=2（x-3），即y=2x-4，
又圆心在x轴上，∴令y=0，得到2x-4=0，即x=2，
∴圆心C坐标为（2，0），
∴圆的半径r=|AC|=
(5−2)2+(1−0)2=
10，
则圆C的方程为（x-2）2+y2=10．
（2）所求圆的圆心坐标为 （1，-2），
因为直线与圆相切，所以圆的半径为：
|2+2+1|
22+1=
5
所以所求圆的方程为：（x-1）2+（y+2）2=5．
点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
考点点评： 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：线段的中点坐标公式，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的点斜式方程，一次函数与坐标轴的交点，两点间的距离公式，以及垂径定理的运用，根据题意确定出圆心C的坐标是解本题的关键，考查直线与圆相切的关系的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．