首先，由函数f（x）在x=0处连续，有
lim
x→0f(x)＝f(0)，
所以，
lim
x→0
f(x)
x→
f(0)
0．
（1）选项A．
若
lim
x→0
f(x)
x存在，也就是x→0时，
f(0)
0的极限存在，
如果f（0）≠0，则
lim
x→0
f(x)
x＝∞，这样一来，
lim
x→0
f(x)
x的极限也就不存在了，所以f（x）=0，
故选项A正确．
（2）选项B．
根据选项A的分析，同理选项B，由于
lim
x→0[f(x)+f(?x)]＝2f(0)，因而也是成立的，
故选项B正确．
（3）选项C．
由选项A，我们知道f（0）=0，
所以
lim
x→0
f(x)
x＝
lim
x→0
f(x)?f(0)
x＝f′（0），故f′（0）存在，
故选项C正确．
（4）选项D．
我们通过举反例，比如：f（x）=|x|，显然满足题目条件，
但f（x）在x=0处不可导，故选项D错误．
故选：D．