Question

已知函数y=f（n）（n∈N*）设f（1）=2且任意的n1，n2∈N*，有n1，n2∈N*，f（n1+n2）=f（n1）

Answer 1

解题思路：直接利用已知条件求出f（2）、f（3）、f（4）的值；

（2）利用（1）猜想f（n）的解析式，然后利用数学归纳法的证明方法证明即可．

（1）f（1）=2，f（n₁+n₂）=f（n₁）•f（n₂）

∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=2²=4、

f（3）=f（2+1）=f（2）•f（1）=2²•2=8、

f（4）=f（3+1）=f（3）•f（1）=2³•2=16；

（2）猜想f（n）=2ⁿ，n∈N^*

用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，f（1）=2¹=2∴猜想正确；…（7分）

②假设当n=k（k≥1）时猜想正确，即f（k）=2^k，k∈N^*

那么当n=k+1时，f（k+1）=f（k）f（1）=2^k•2=2^k+1

所以，当n=k+1时，猜想正确

由①②知，对n∈N^*，f（n）=2ⁿ，正确．…（13分）

点评：

本题考点： 数学归纳法；归纳推理．

考点点评： 本题考查数学归纳法的证明方法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．