Question

已知f（x）是定义在实数集R上的函数,满足f（x+2）=-f（x）,且x∈[0,2)时,f（x）=2x-x2,

Answer 1

1.f（x+2）=-f（x）,得 f(x)=-f(x-2),

当x∈[2,4)时,x-2∈[0,2)

且x∈[0,2)时,f（x）=2x-x^2,

所以f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-(x-2)^2]=x^2-6x+8

所以当x∈[2,4)时,f(x)=x^2-6x+8

又f（x+2）=-f（x）,得 f(x+4)=-f(x+2),

所以f(x+4)=f(x) 即f(x)是以4为周期的周期函数,而f(0)=0 所以f(4)=0 ,满足f(x)=x^2-6x+8

综上所述 当x∈[0,2)时,f（x）=2x-x^2,

当x∈[2,4]时,f(x)=x^2-6x+8

2.由第1问知f(x)是以4为周期的周期函数,而f(0)=0 ,f(1)=1 ,f(2)=0 ,f(3)=-1

所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0 而0到2013共有2014个自然数,2014=505*4+2

所以f(0)+f(1)+f(2)+.+f(2013)=f(0)+f(1)=1