Question

已知函数f（x）=xlnx，（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），

f（x）的导数f′（x）=1+lnx，

令f′（x）＞0，解得

；令f′（x）＜0，解得

，

从而f（x）在

单调递减，在

单调递增，

所以，当

时，f（x）取得最小值

；

（Ⅱ）依题意，得

在[1，+∞)上恒成立，

即不等式

对于x∈[1，+∞)恒成立，

令

，

则

，

当x＞1时，因为

，

故g（x）是（1，+∞）上的增函数，

所以g（x）的最小值是g（1）=1，

从而a的取值范围是(-∞，1]。