Question

（文科做）已知点A1（2，0），A2（1，t），A3（0，b），A4（-1，t），A5（-2，0），其中t＞0，b为正常

Answer 1

解题思路：（1）注意到A₁（2，0），A₅（-2，0），且半径为2的圆C₁经过A_i，故线段A₁A₅就是所求圆的直径，O为圆心，写出圆的标准方程即可

（2）椭圆长轴长是4，即a=2，故可设椭圆方程为

x

2

4

+

y

2

b

2

＝1

，因为A_iF₁+A_iF₂=4，由椭圆定义知点A₂（1，t）在椭圆上，代入椭圆方程即可用b表示t；

（3）利用焦半径公式，A_iF₁=ex_i+a，再利用椭圆定义，即可得A_iF₁-A_iF₂=2A_iF₁-2a=2ex_i，可见数列{a_n}的项的大小只与点A_i的横坐标有关，进而易证a_n+1＜a_n．

（1）∵A₁A₅=4，则A₁A₅为⊙C₁的直径，∴圆心为A₁，A₅的中点（0，0）

∴⊙C₁的方程是x²+y²=4，

∵A₂（1，t），A₃（0，b）在圆上，

∴b=2，t＝

3；

（2）∵椭圆C₂以F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）为焦点，长轴长是4，

∴椭圆C₂的方程是

x2

4+

y2

b2＝1，将A₂（1，t）代入，

得

12

4+

t2

b2＝1，得t＝

3

2b；

（3）设A_i的坐标是（x_i，y_i），∵椭圆C₂的左准线为x＝−

a2

c，

∴

AiF1

xi+

a2

c＝e，则AiF1＝e(xi+

a2

c)＝exi+a，（其中e＝

c

a为椭圆的离心率）

A_iF₁-A_iF₂=2A_iF₁-2a=2ex_i

由于{x_i}递减，则对n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．

点评：

本题考点： 椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考察了圆的标准方程，椭圆的标准方程，椭圆的定义，椭圆的几何性质等基础知识及其应用，本题解答中用到了椭圆的第二定义转化AiF1＝e(xi+a2c)＝exi+a，新教材实验区的学生可不解第三小题，请学习时注意