方法很多,我只说两个Riemann原始的方法吧.
方法一：他证明Γ(s)ζ(s)是x^(s-1)/(e^x-1)dx从0到无穷大的积分,然后他把后者解析开拓,因为Γ(s)是熟知的,所以将ζ(s)解析开拓至复平面（除了s=1）.
方法二：他借助一个Jacobi为研究椭圆函数和模函数而引入的θ函数（Riemann记为ψ(x)）,由Jacobi的一个等式（此等式是Poisson求和法的一个直接结果）推出函数方程,然后得到解析开拓.
附带一说,Zeta函数和模函数的联系是深刻而微妙的,除了上面所说的,还可以举出Deligne证明Weil猜想中的Riemann猜想类比的一个副产物就是证明了一个模函数的Ramanujan猜想.