不可以不加to.此句为省略了宾语的to引导的宾语补足语,to keep the secret实际是个状语成分.句子主干就是 She promised (me).
promise也可以带双宾语,例如Dad promised me a new car.
当然不用to.原句做修改也是可以成立的.
She promised keeping the secret.这里keeping the secret做间接宾语.
to的用法并不难理解.关键是你要掌握谓语动词的
用法.
PS：楼上的这两位对动词和语法成分的理解还停留在中学水平.学习动词用法不能完全死记硬背,生搬硬套,要懂得语法的真正含义才能灵活运用.
如果是双宾语.则宾语只能由具有名称性质的成分担当.所以keep动词名化+ing.