如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(﹣2 ,0)、B(2 ,0)、C(0 ,﹣1)三点,过坐标原点O的直线y=kx与抛物

1个回答

  • (1)设抛物线对应二次函数的解析式为:y=ax 2+bx+c,

    解得:a=

    ,b=0,c=﹣1,

    所以y=

    x 2﹣1;

    (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),

    因为点M、N在抛物线上,

    所以y 1=

    x 1 2﹣1,y 2=

    x 2 2﹣1,

    所以x 2 2=4(y 2+1);

    又ON 2=x 2 2+y 2 2=4(y 2+1)+y 2 2=(y 2+2) 2

    所以ON=

    又因为y 2≥﹣l,

    所以ON=2+y 2

    设ON的中点为E,分别过点N、E向直线 l 1作垂线,

    垂足为P、F,

    则EF=

    所以ON=2EF,

    即ON的中点到直线 l 1的距离等于ON长度的一半,

    所以以ON为直径的圆与 l 1相切;

    (3)过点M作MH⊥NP交NP于点H,

    则MN 2=MH 2+NH 2=(x 2﹣x 1 2+(y 2﹣y 1),

    又y 1=kx 1,y 2=kx 2

    所以(y 2﹣y 1 2=k 2(x 2﹣x 1 2

    所以MN 2=(1+k 2)(x 2﹣x 1 2

    又因为点M 、N 既在y=kx的图象上,又在抛物线上,

    所以kx=

    x 2﹣1,即x 2﹣4kx﹣4=0,

    所以x=

    所以(x 2﹣x 1 2=16(1+k 2),

    所以MN 2=16(1+k 2 2

    ∴MN=4(1+k 2),

    延长NP交 l 2于点Q,

    过点M作MS⊥ l 2交 l 2于点S,

    则MS+NQ=y 1+2+y 2+2

    =

    x 1 2﹣1+

    x 2 2﹣1+4=

    (x 1 2+x 2 2)+2,

    又x 1 2+x 2 2=2[4k 2+4(1+k 2)]=16k 2+8,

    所以MS+NQ=4k 2+2+2=4(1+k 2)=MN,

    即M、N两点到 l 2距离之和等于线段MN的长.