解题思路：（1）由已知可得f'（x）=[ax−1
a
x
2
≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，可得a-1≥0，从而
求得正实数a的取值范围．
（2）根据n≥2时：f（
n/n−1]）＞f（1）=0，可得[1/n
＜ln
n
n−1]，从而得到 [1/2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n]＜lnn；设g（x）=
lnx-x，x∈[1，+∞），则
g′(x)＝
1
x
−1≤0
对x∈[1，+∞）恒成立，故 n≥2时，由g（[n/n−1]）＜g（1）=-1＜0，得
ln[n/n−1]＜1+[1/n−1]，由此利用放缩法证得lnn＜
n+
1
2
+
1
3
+…+
1
n−1
，从而证得不等式成立．
（1）由已知：f'（x）=[ax−1
ax2(a＞0)．
依题意得：
ax−1
ax2≥0对x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，∴a-1≥0，即：a≥1．
故正实数a的取值范围为[1，+∞）．
（2）∵a=1，∴由（1）知：f（x）=
1−x/x+lnx在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（
n
n−1]）=
1−
n
n−1
n
n−1+ln
n
n−1＝ln
n
n−1−
1
n＞f(1)＝0，
即：[1/n＜ln
n
n−1]…． （9分）
∴[1/2+
1
3+
1
4+…+
1
n＜ln
2
1+ln
3
2+…+ln
n
n−1＝1nn．
设g（x）=lnx-x，x∈[1，+∞），则g′(x)＝
1
x−1≤0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1+∞）为减函数．
∴n≥2时：g（
n
n−1]）=ln[n/n−1]-[n/n−1]＜g（1）=-1＜0，
即：ln[n/n−1]＜[n/n−1]=1+[1/n−1] （n≥2）．
∴lnn=ln
2
1+ln
3
2+ln
4
3+…+ln
n
n−1＜(1+
1
n−1)+(1+
1
n−2)+…+(1+
1
1)＝n+
1
2+
1
3+…+
点评：
本题考点： 反证法与放缩法；函数单调性的性质．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法证明不等式，将式子进行恰当的放缩，是解题的难点．
1年前
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