Question

（2012•云南）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．

Answer 1

解题思路：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；

（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM²=AM²+AB²，推出x²=x²-16x+64+16，求出即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

∵在△DMO和△BNO中，

∠DMO＝∠BNO

∠MDO＝∠NBO

OB＝OD，

∴△DMO≌△BNO（AAS），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）∵四边形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

设MD长为x，则MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM²=AM²+AB²

即x²=（8-x）²+4²，

解得：x=5，

答：MD长为5．

点评：

本题考点： 矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定．

考点点评： 本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．