原行列式记为Dn
Dn 左右翻转得 Hn =
x a a ...a a
b x a ...a a
b b x ...a a
......
b b b ...x a
b b b ...b x
则 Dn = (-1)^[n(n-1)/2] Hn.
下面计算Hn
Hn =
b+(x-b) a a ...a a
b x a ...a a
b b x ...a a
......
b b b ...x a
b b b ...b x
=
b a a ...a a
b x a ...a a
b b x ...a a
......
b b b ...x a
b b b ...b x
+
x-b a a ...a a
0 x a ...a a
0 b x ...a a
......
0 b b ...x a
0 b b ...b x
第1个行列式:
第1列提出b,然后第1列乘 -a 加到其余各列
行列式化为下三角形
等于 b(x-a)^(n-1)
第2个行列式:
按第1列展开,等于(x-b)H(n-1)
Hn = b(x-a)^(n-1) + (x-b)H(n-1) ...(1)
再考虑Hn的转置(a,b换位),得
Hn = a(x-b)^(n-1) + (x-a)H(n-1) ...(2)
(1),(2)式消去 H(n-1) 得
(a-b)Hn = a(x-b)^n - b(x-a)^n
若a≠b,则 Hn = [a(x-b)^n - b(x-a)^n]/(a-b)
若a=b,直接计算 Hn = [x+(n-1)a)](x-a)^(n-1)
所以原行列式 Dn = (-1)^[n(n-1)/2] Hn
= (-1)^[n(n-1)/2] [a(x-b)^n - b(x-a)^n]/(a-b),a≠b
= (-1)^[n(n-1)/2] [x+(n-1)a)](x-a)^(n-1),a=