Question

已知对一切实数x，3x2+2x+2x2+x+1恒大于正整数k，则这样的k为 ______．

Answer 1

解题思路：将分式函数恒成立问题先转化为二次函数的恒成立问题，利用二次函数的函数值恒小于0处理．

依题意对∀x∈R

3x2+2x+2

x2+x+1＞ k恒成立

∴3x²+2x+2＞k（x²+x+1）

∴（k-3）x²+（k-2）x+k-2＜0

设函数y=（k-3）x²+（k-2）x+k-2，即y恒小于0

∴

k−3＜0

△＝(k−2)2−4(k−3)(k−2)＜0

解得 k＜2 又k为正整数，

∴k=1

故答案为1．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题的关键在于“转化”，先将分式函数恒成立转化为二次函数恒成立问题，再利用二次函数性质加以解决，属于基础题．