解题思路:(1)由题意知,f (x)在x=2处取得的极大值,即f′(2)=0,解出a即可;
(2)由于y=x3+ax2+x-4在R上有两个不同的极值点,则导函数满足△=4a2-12>0,解出a的范围,
又由
3
g
2
(1)
f(1)+3
=4a+
1
a
−4
,即可得到
3
g
2
(1)
f(1)+3
的取值范围;
(3)由于f2(x)-64f (x)=0,则f (x)=0或f (x)=±8,分a等于0,大于0,小于0三种情况来讨论函数f(x)的单调性,
进而依据函数的极值得到方程f2(x)-64f (x)=0,有且只有三个不同的实根时,实数a的取值范围.
(1)由于函数f(x)=x3+3ax2-4(a∈R,x∈R),
则f′(x)=3x2+6ax.
由于函数f (x)在(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)单凋递增,
则f (x)在x=2处取得的极大值,
故f′(2)=3×22+6a×2=0,解得a=-1;
(2)由于y=f (x)+g (x)=x3+3ax2-4-2ax2+x=x3+ax2+x-4,
则y′=3x2+2ax+1
由于函数y=f (x)+g (x)在R上有两个不同的极值点,
则△=4a2-12>0,解得 a<−
3或a>
3.
又由
3g2(1)
f(1)+3=
(1−2a)2
a=4a+
1
a−4,若令h(a)=4a+
1
a
则函数h(a)在区间(
3,+∞)上递增,在(-∞,−
3)上也递增,
故h(a)<−
13
3
3或h(a)>
13
3
3,
则
3g2(1)
f(1)+3
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 考查利用导数研究函数的单调性和图象,体现了数形结合的思想方法.本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题,需要对参数进行分类讨论.属中档题.