(2013•凉山州二模)设函数f (x)=x3+3ax2-4(a∈R,x∈R),g(x)=-2ax2+x

1个回答

  • 解题思路:(1)由题意知,f (x)在x=2处取得的极大值,即f′(2)=0,解出a即可;

    (2)由于y=x3+ax2+x-4在R上有两个不同的极值点,则导函数满足△=4a2-12>0,解出a的范围,

    又由

    3

    g

    2

    (1)

    f(1)+3

    =4a+

    1

    a

    −4

    ,即可得到

    3

    g

    2

    (1)

    f(1)+3

    的取值范围;

    (3)由于f2(x)-64f (x)=0,则f (x)=0或f (x)=±8,分a等于0,大于0,小于0三种情况来讨论函数f(x)的单调性,

    进而依据函数的极值得到方程f2(x)-64f (x)=0,有且只有三个不同的实根时,实数a的取值范围.

    (1)由于函数f(x)=x3+3ax2-4(a∈R,x∈R),

    则f′(x)=3x2+6ax.

    由于函数f (x)在(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)单凋递增,

    则f (x)在x=2处取得的极大值,

    故f′(2)=3×22+6a×2=0,解得a=-1;

    (2)由于y=f (x)+g (x)=x3+3ax2-4-2ax2+x=x3+ax2+x-4,

    则y′=3x2+2ax+1

    由于函数y=f (x)+g (x)在R上有两个不同的极值点,

    则△=4a2-12>0,解得 a<−

    3或a>

    3.

    又由

    3g2(1)

    f(1)+3=

    (1−2a)2

    a=4a+

    1

    a−4,若令h(a)=4a+

    1

    a

    则函数h(a)在区间(

    3,+∞)上递增,在(-∞,−

    3)上也递增,

    故h(a)<−

    13

    3

    3或h(a)>

    13

    3

    3,

    3g2(1)

    f(1)+3

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的极值.

    考点点评: 考查利用导数研究函数的单调性和图象,体现了数形结合的思想方法.本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题,需要对参数进行分类讨论.属中档题.