已知数列{an}满足：a1=3，an+1=3an+ - 知识问答

已知数列{an}满足：a1=3，an+1=3an+2an+2，n∈N*，记bn=an−2an+1．

1个回答

解题思路：（Ⅰ）由条件先得
a
n+1
＝
3
a
n
+2
a
n
+2
，再分别表示∴a_n+1-2，a_n+1+1，两式相除，可得数列{b_n}是首项为[1/4]，公比为[1/4]的等比数列．
（II）由（Ⅰ）可知
a
n
＝
1+2×
4
n
4
n
−1
，对a_n≤t•4ⁿ分离参数得
t≥
2+
1
4
n
4
n
−1
，从而可解；
（III）由题意可得C₁•C₂…C_n=
(1−
1
4
)…(1−
1
4
n
)
，欲证此结论，先证明：若x₁，x₂，…x_n为正数，则（1-x₁）…（1-x_n）＞1-（x₁+x₂+…+x_n）成立．
（Ⅰ）证明：由a_n+1=
3an+2
an+2，n∈N^*得a_n+1-2=
3an+2
an+2-2=
an−2
an+2①a_n+1+1=
3an+2
an+2+1=
4(an+1)
an+2②
①÷②
an+1−2
an+1+1 ＝
1
4×
an−2
an+1即b_n+1=[1/4]b_n，且b1＝
1
4
∴数列{b_n}是首项为[1/4]，公比为[1/4]的等比数列．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn＝
1
4n＝
an−2
an+1，∴an＝
1+2×4n
4n−1
由a_n≤t•4ⁿ得t≥
2+
1
4n
4n−1易得
2+
1
4n
4n−1是关于n的减函数，∴
点评：
本题考点：数列与不等式的综合；等比数列的性质；数列递推式．
考点点评：本题考查构造新数列是求数列的通项，考查分离参数法求解恒成立问题，考查数学归纳法证明不等式，属于中档题．

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