解题思路：（1）利用点在函数的图象上，求出Sn，然后利用an=sn-sn-1，求数列{an}的通项公式；
（2）求出
b
n
＝
1
a
n
•
a
n+1
，利用裂项法直接求解数列{bn}的前n项和为Bn；
（3）通过
c
n
＝
t
a
n
(t＞0)
，判断数列{cn}是等比数列，求出它的前n项和Tn，然后求
lim
n→∞
T
n+1
T
n
的值．
（本题满分（14分），第（1）小题（5分），第（2）小题（5分），第（3）小题4分））
（1）因为点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上
所以Sn＝n2+2nn∈N*------------------------（1分）
当n=1时，a1=S1=1+2=3
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝n2+2n−[(n−1)2+2(n−1)]＝2n+1（*）
令n=1，a1=2+1=3，也满足（*）式-------------------（3分）
所以，数列{an}的通项公式是an=2n+1．------------------------（4分）
（2）bn＝
1
(2n+1)(2n+3)＝
1
2(
1
2n+1−
1
2n+3)------------------------（6分）
∴Bn＝
1
2[(
1
3−
1
5)+(
1
5−
1
7)+…+(
1
2n+1−
1
2n+3)]=[1/2(
1
3−
1
2n+3)＝
n
6n+9]---------------（8分）
（3）因为cn＝t2n+1，所以
cn+1
cn＝t2，
则数列{cn}成公比为等比数列t2的等比数列．
∵t＞0
当t=1时，Tn=n；t＞0，t≠1，Tn＝
t3(1−t2n)
1−t2；------------------------（10分）
当t=1时，
lim
n→∞
Tn+1
Tn＝
lim
n→∞
n+1
n＝1
当t＞1时，
lim
n→∞
Tn+1
Tn＝
lim
n→∞
1−t
点评：
本题考点： 数列的极限；等差数列的通项公式；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列的极限，等差数列的通项公式，数列的求和的应用，考查转化思想计算能力．