Question

请教一个高等数学中数列极限的问题

Answer 1

1）令

f(x) = (x+…+x^n) - 1,

易知f(x) 在区间 [1/2,1] 内连续,且

f(1/2) < 0,f(1) > 0,

则根据零点存在定理,存在 c∈(1/2,1),使

f(c) = 0,

又

f'(x) > 0,x∈(1/2,1),

可知f(x) 在区间 [1/2,1] 内单调上升,得知方程x+…+x^n=1在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根.

2）记实根为x(n),则有

x(n)+…+x(n)^n = 1,

即

x(n)[1 - x(n)^n]/[1 - x(n)] = 1,

令 n→inf.,则得

x(n)/[1 - x(n)] = 1,

可解得

x(n) = 1/2.