解题思路：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．
设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，
所以
x2
x+2+
y2
y+1=
(s−2)2
s+
(t−1)2
t＝(s−4+
4
s)+(t−2+
1
t)=(s+t)+(
4
s+
1
t)−6＝(
4
s+
1
t)−2．
因为[4/s+
1
t＝
1
4(
4
s+
1
t)(s+t)＝
1
4(
4t
s+
s
t+5)≥
9
4]
所以
x2
x+2+
y2
y+1≥
1
4．
故答案为[1/4]．
点评：
本题考点： 基本不等式．
考点点评： 本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．