Question

AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，则下列命题：①以AB为直径作圆则此圆与

Answer 1

解题思路：根据抛物线的定义，可知AP+BP=AM+BN，从而

PQ＝

1

2

AB

，所以以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故可判断①错，③对；由AP=AF可知∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，从而可判断②④正确；

对于 ⑤，不妨设抛物线方程为y²=2px，直线AB：

x＝ky+

p

2

，从而可证明k_OA=k_ON，故可判断．

由题意，AP+BP=AM+BN

∴PQ＝

1

2AB，∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故①错，③对；

由AP=AF可知∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，从而②④正确；

对于 ⑤，不妨设抛物线方程为y²=2px，直线AB：x＝ky+

p

2

联立可得y²-2kpy-p²=0

设A(

y21

2p，y1)，B(

y22

2p，y2)，则N(−

p

2，y2)

∴kOA＝

2p

y1，kON＝

−2y2

p

∵y₁y₂=-p²，∴k_OA=k_ON，故⑤正确

故答案为②③④⑤

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．