Question

已知△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，它的外接圆半径为6，角B、C和△ABC的面积s满足条件：s=b2

Answer 1

解题思路：（1）利用余弦定理表示出cosB，再利用三角形面积公式表示出s，代入已知等式中变形，求出sinB的值即可；

（2）利用正弦定理及R的值，表示出a与c，已知第二个等式利用正弦定理化简，求出a+c的值，利用基本不等式求出ac的最大值，即可确定出三角形面积的最大值．

（1）∵s=b²-（c-a）²=b²-c²-a²+2ac，且cosB=

a2+c2−b2

2ac，

∴b²-c²-a²=-2accosB，

∴s=2ac（1-cosB），

∵s=[1/2]acsinB，∴[1/2]sinB=2-2cosB，

∴4cosB=4-sinB，

两边平方得16cos²B=16-8sinB+sin²B，即16-16sin²B=16-8sinB+sin²B，

∴sinB=[8/17]；

（2）由正弦定理得：a=12sinA，c=12sinC，

又sinA+sinC=[4/3]，

∴a+c=12×[4/3]=16，又ac≤（[a+c/2]）²=64，当且仅当a=c=8取等号，

∴s=[1/2]acsinB=[4/17]ac≤[4/17]×64=[256/17]，

则△ABC的面积的最大值为[256/17]．

点评：

本题考点： 余弦定理；正弦定理．

考点点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．