Question

已知数列[1/1×2]，[1/2×3]，[1/3×4]，…[1n(n+1)

Answer 1

解题思路：S₁=1-[1/2]=[1/2]，S₂=1-[1/3]=[2/3]，S₃=1-[1/4]=[3/4]，猜想：S_n=1-[1/n+1]；利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

S₁=1-

1/2]=[1/2]，S₂=1-[1/2]+

1

2−

1

3=[2/3]，S₃=1-[1/2]+

1

2−

1

3+

1

3−

1

4=[3/4]，猜测S_n=[n/n+1]．

运用数学归纳法证明：当n=1时，S₁=[1/2]，S₁=[1/1×2]，等式成立，

假设当n=k时，S_k=[k/k+1]成立，

则当n=k+1时，S_k+1=S_k+[1

(k+1)(k+2)=

k/k+1]+[1/k+1−

1

k+2]=1-[1/k+2]=[k+1

(k+1)+1，

即当n=k+1时，等式也成立．

故对n∈N*，测S_n=

n/n+1]都成立．

点评：

本题考点： 数学归纳法；归纳推理．

考点点评： 本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．