Question

设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解题思路：令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1-a，令g'（x）=0⇒x=e^a-1-1，

当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜e^a-1-1时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜e^a-1-1有g（x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立

综上所述即可得出a的取值范围．

解法一：

令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，

对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a

令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，

（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，

又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），

即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．

（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e^a-1-1）是减函数，

又g（0）=0，所以对0＜x＜e^a-1-1，都有g（x）＜g（0），

即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．

综上，a的取值范围是（-∞，1]．

解法二：

令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，

于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．

对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1-a

令g′（x）=0，解得x=e^a-1-1，

当x＞e^a-1-1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，

当-1＜x＜e^a-1-1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，

所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e^a-1-1≤0．

由此得a≤1，即a的取值范围是（-∞，1]．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题主要考查了函数的导数和利用导数判断函数的单调性，难度较大，涉及分类讨论的数学思想．