设A,B,C是三角形ABC的三个内角,求证:sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

1个回答

  • sinA +sinB = 2sin([A+B]/2)Xcos([A-B]/2)

    设 A = 2x ,B= 2y

    sin 2x + sin 2y = 2 sin (x+y) cos(x-y)

    用x 代替 A ,y 代替 B

    sin 2A + sin 2B = 2 sin(A+B) cos(A-B) .1

    as A+B+C = 180

    A+B = 180-C

    所以

    sin (A+B) = sin (180-C)= sin C

    代入 1 式

    sin 2A + sin 2B = 2 sin C cos(A-B)

    add sin 2c to both sides

    等式左边

    sin 2A + sin 2B + sin2C = 2 sin C cos (A-B) + 2 sin C cos C

    = 2 sin C(cos (A-B) + cos (180-(A+B))

    因为 C= 180 - (A+B)

    = 2 sin C(cos(A-B) - cos (A+B))

    = 2 sin C( cos A cos B + sin A sin B -( cos A cos B - sin A sin B)

    使用 cos(A+B) 及 cos(A-B) 展开式

    = 2 sin C( 2 sin A sin B)

    = 4 sin A sin B sin C

    = 等式右边

    所以,得证