选C
渐进线：L：y=b/a*x x=a/b*y
L1：y=-b/a*x x=-a/b*y
P（xp,yp） A（a,0）
A引双曲线的渐进线L平行线L2：a/b*y=x-a
A引双曲线的渐进线L1平行线L3：a/b*y=a-x
OP所在直线的方程L4：xp*y=yp*x
联立：a/b*y=x-a xp*y=yp*x
得出R的坐标：xr=ab*xp/（b*xp-a*yp） yr=ab*yp/（b*xp-a*yp）
联立：a/b*y=a-x x1*y=y1*x
得出Q的坐标：xr=ab*xp/（b*xr+a*yp） yr=ab*yp/（b*xp+a*yp）
向量OR=[ab*xp/（b*xp-a*yp）,ab*yp/（b*xp-a*yp）]
向量OQ=[ab*xp/（b*xr+a*yp）,yr=ab*yp/（b*xp+a*yp）]
|OQ*OR|=a²b²xp²/（b²xp²-a²yp²）+a²b²xp²/（b²xp²+a²yp²)
P在x²/a²-y²/b²=1上,b²xp²-a²yp²=a²b²
∴|OQ*OR|=xp²+yp²
而│OP│²=xp²+yp²
所以|OP|²=|OQ|·|OR|