解题思路:(1)本题要依靠辅助线的帮助.连接OA,OC,证明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得S△OAC=[1/3]S△ABC,易证SOFCG=[1/3]S△ABC.
(2)本题有多种解法.连接OA,OB和OC,证明△AOC≌△COB≌△BOA,求出∠AOC以及∠DOE之间的关系即可.
证明:(1)如图1,连接OA,OC;
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,
∵点O是等边三角形ABC的外心,
∴CF=CG=[1/2]AC,∠OFC=∠OGC=90°,
∴在Rt△OFC和Rt△OGC中,
CF=CG
OC=OC,
∴Rt△OFC≌Rt△OGC.
同理:Rt△OGC≌Rt△OGA.
∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA,
S四边形OFCG=2S△OFC=S△OAC,
∴S△OAC=[1/3]S△ABC,
∴S四边形OFCG=[1/3]S△ABC.
(2)证法一:
连接OA,OB和OC,则
△AOC≌△COB≌△BOA,∠1=∠2;
设OD交BC于点F,OE交AC于点G,
∠AOC=∠3+∠4=120°,∠DOE=∠5+∠4=120°,
∴∠3=∠5;
在△OAG和△OCF中
∠2=∠1
OA=OC
∠3=∠5,
∴△OAG≌△OCF,
∴S△OAG=S△OCF,
∴S△OAG+S△OGC=S△OCF+S△OGC,
即S四边形OFCG=S△OAC=[1/3]S△ABC;
证法二:
设OD交BC于点F,OE交AC于点G;
作OH⊥BC,OK⊥AC,垂足分别为H、K;
在四边形HOKC中,∠OHC=∠OKC=90°,∠C=60°,
∴∠HOK=360°-90°-90°-60°=120°,
即∠1+∠2=120度;
又∵∠GOF=∠2+∠3=120°,
∴∠1=∠3,
∵AC=BC,
∴OH=OK,
∴△OGK≌△OFH,
∴S四边形OFCG=S四边形OHCK=[1/3]S△ABC.
点评:
本题考点: 三角形的外接圆与外心;全等三角形的判定;等边三角形的性质.
考点点评: 本题涉及三角形的外接圆知识及全等三角形的判定,难度偏难.