(1)如图1,圆内接△ABC中,AB=BC=CA,OD、OE为⊙O的半径,OD⊥BC于点F,OE⊥AC于点G,求证:阴影

4个回答

  • 解题思路:(1)本题要依靠辅助线的帮助.连接OA,OC,证明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得S△OAC=[1/3]S△ABC,易证SOFCG=[1/3]S△ABC

    (2)本题有多种解法.连接OA,OB和OC,证明△AOC≌△COB≌△BOA,求出∠AOC以及∠DOE之间的关系即可.

    证明:(1)如图1,连接OA,OC;

    ∵△ABC是等边三角形,

    ∴AC=BC,

    ∵点O是等边三角形ABC的外心,

    ∴CF=CG=[1/2]AC,∠OFC=∠OGC=90°,

    ∴在Rt△OFC和Rt△OGC中,

    CF=CG

    OC=OC,

    ∴Rt△OFC≌Rt△OGC.

    同理:Rt△OGC≌Rt△OGA.

    ∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA,

    S四边形OFCG=2S△OFC=S△OAC

    ∴S△OAC=[1/3]S△ABC

    ∴S四边形OFCG=[1/3]S△ABC

    (2)证法一:

    连接OA,OB和OC,则

    △AOC≌△COB≌△BOA,∠1=∠2;

    设OD交BC于点F,OE交AC于点G,

    ∠AOC=∠3+∠4=120°,∠DOE=∠5+∠4=120°,

    ∴∠3=∠5;

    在△OAG和△OCF中

    ∠2=∠1

    OA=OC

    ∠3=∠5,

    ∴△OAG≌△OCF,

    ∴S△OAG=S△OCF

    ∴S△OAG+S△OGC=S△OCF+S△OGC

    即S四边形OFCG=S△OAC=[1/3]S△ABC

    证法二:

    设OD交BC于点F,OE交AC于点G;

    作OH⊥BC,OK⊥AC,垂足分别为H、K;

    在四边形HOKC中,∠OHC=∠OKC=90°,∠C=60°,

    ∴∠HOK=360°-90°-90°-60°=120°,

    即∠1+∠2=120度;

    又∵∠GOF=∠2+∠3=120°,

    ∴∠1=∠3,

    ∵AC=BC,

    ∴OH=OK,

    ∴△OGK≌△OFH,

    ∴S四边形OFCG=S四边形OHCK=[1/3]S△ABC

    点评:

    本题考点: 三角形的外接圆与外心;全等三角形的判定;等边三角形的性质.

    考点点评: 本题涉及三角形的外接圆知识及全等三角形的判定,难度偏难.