Question

（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+[π/4]）．

Answer 1

解题思路：（1）令 2kπ-[π/2]≤3x+[π/4]≤2kπ+[π/2]，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．

（2）由函数的解析式可得 f（[α/3]）=sin（α+[π/4]），又f（[α/3]）=[4/5]cos（α+[π/4]）cos2α，可得sin（α+[π/4]）=[4/5]cos（α+[π/4]）cos2α，化简可得 （cosα-sinα）²=[5/4]．再由α是第二象限角，cosα-sinα＜0，从而求得cosα-sinα 的值．

（1）∵函数f（x）=sin（3x+[π/4]），令 2kπ-[π/2]≤3x+[π/4]≤2kπ+[π/2]，k∈z，

求得 [2kπ/3]-[π/4]≤x≤[2kπ/3]+[π/12]，故函数的增区间为[[2kπ/3]-[π/4]，[2kπ/3]+[π/12]]，k∈z．

（2）由函数的解析式可得 f（[α/3]）=sin（α+[π/4]），又f（[α/3]）=[4/5]cos（α+[π/4]）cos2α，

∴sin（α+[π/4]）=[4/5]cos（α+[π/4]）cos2α，即sin（α+[π/4]）=[4/5]cos（α+[π/4]）（cos²α-sin²α），

∴sinαcos[π/4]+cosαsin[π/4]=[4/5]（cos²α-sin²α）•

点评：

本题考点： 两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．