解题思路：（1）设f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，x∈（0，[π/2]），f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=[1
co
s
2
x
-1＞0，由此利用导数性质能证明sinx＜x＜tanx，x∈（0，
π/2]）．
（2）当x＞0时，“[sinx/x]＞a”等价于“sin x-ax＞0”，“[sinx/x]＜b”等价于“sin x-bx＜0”．令g（x）=sin x-cx，则g′（x）=cos x-c．利用利用分类讨论思想和导数性质能求出a的最大值与b的最小值．
（1）证明：设f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，x∈（0，[π/2]），
f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=[1
cos2x-1＞0，
由于f（x）和g（x）在（0，
π/2]）上都是单调递增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，
∴x-sinx＞0，tanx-x＞0=＞x＞sinx，tanx＞x，
∴sinx＜x＜tanx，x∈（0，[π/2]）．…6分
（2）当x＞0时，“[sinx/x]＞a”等价于“sin x-ax＞0”，
“[sinx/x]＜b”等价于“sin x-bx＜0”．
令g（x）=sin x-cx，则g′（x）=cos x-c．
①当c≤0时，g（x）＞0对任意x∈（0，[π/2]）恒成立．
②当c≥1时，因为对任意x∈（0，[π/2]），g′（x）=cos x-c＜0，
∴g（x）在区间（0，[π/2]）上单调递减，
从而g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，[π/2]）恒成立．…8分
③当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，[π/2]）使得g′（x0）=cos x0-c=0．
g（x）与g′（x）在区间（0，[π/2]）上的情况如下：
x（0，x0）x0（x0，[π/2]）
g′（x）+0-
g（x）递增递减∵g（x）在区间（0，x0）上是增函数，
∴g（x0）＞g（0）=0．
于是“g（x）＞0对任意x∈（0，[π/2]）恒成立”当且仅当g（[π/2]）=1-[π/2]c≥0，即0＜c≤[2/π]．…11分
综上所述，当且仅当c≤[2/π]时，g（x）＞0对任意x∈（0，[π/2]）恒成立；
当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，[π/2]）恒成立．
∴若a＜[sinx/x]＜b对任意x∈（0，[π/2]）恒成立，
则a的最大值为[2/π]，b的最小值为1．…13分．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查不等式的证明，考查实数的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用．
1年前
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