解题思路：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率，求出切点，应用点斜式方程，并化为斜截式方程；
（Ⅱ）由已知得，即存在0＜x≤2，使得，a≥[1/2
x
2
+
1
x]成立；或存在-1≤x＜0，使得a≤[1/2
x
2
+
1
x]成立．
令g（x）=[1/2
x
2
+
1
x]（-1≤x≤2，且x≠0），求出导数，求出单调区间，求出g（x）在（0，2]上 的最小值，在[-1，0）上的最大值，则只要a不小于最小值，或a不大于最大值即可．
（Ⅰ）∵当a=1时，f（x）=[1/2]x3-x+1，f′（x）=[3/2]x2-1，f（2）=3，
∴曲线y=f（x）在点（2，3）处的切线斜率为k=f′（2）=6-1=5，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y-3=5（x-2）即y=5x-7．
（Ⅱ）由已知得，在区间[-1，2]内至少存在一个实数x，使得ax≥[1/2]x3+1成立．
即存在0＜x≤2，使得，a≥[1/2x2+
1
x]成立；或存在-1≤x＜0，使得a≤[1/2x2+
1
x]成立．
令g（x）=[1/2x2+
1
x]（-1≤x≤2，且x≠0），则g′（x）=x-[1
x2，
则g（x）在[1，2]上单调递增，在[-1，0），（0，1]上单调递减，
∴g（x）在（0，2]上 的最小值为g（1），在[-1，0）上的最大值为g（-1）．
∴0＜x≤2时，a≥g（x）min=g（1）=
3/2]，
-1≤x＜0时，a≤g（x）max=g（-1）=-[1/2]．
∴a≥
3
2或a≤-[1/2]．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查导数在函数中的综合应用：求切线方程和求单调区间、求极值、最值等，同时考查存在性问题的解决方法，属于中档题．
1年前
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