Question

等差数列{an}中，a1=25，S17=S9，问数列前多少项之和最大，并求出最大值．

Answer 1

解题思路：解法一，由等差数列的求和公式可得17a₁+[17×16/2]d=9a₁+[9×8/2]d，解之可得d=-2，进而可得S_n=-n²+26n，由二次函数的性质可得；解法二，求出公差后可得通项，由a_n-1≤a_n≤a_n+1可得n的范围，结合n为自然数可得结论．

解法一：∵a₁=25，S₁₇=S₉，

∴17a₁+[17×16/2]d=9a₁+[9×8/2]d，解得d=-2．

∴S_n=25n+

n(n−1)

2×（-2）

=-n²+26n=-（n-13）²+169．

由二次函数的知识可知：当n=13时，

S₁₃=169，即前13项之和最大，最大值为169．

解法二：同方法一：得d=-2，

∴a_n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27，由a_n-1≤a_n≤a_n+1，

可解得[25/2]≤n≤[27/2]，又∵n∈N^*，

∴当n=13时，S_n取得最大值，最大值为169．

点评：

本题考点： 等差数列的性质．

考点点评： 本题考查等差数列的性质，涉及二次函数的性质，属中档题