Question

（2012•通州区一模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AA1⊥平面ABC，且AA1=AB=3，D&

Answer 1

（Ⅰ）连接A₁C交AC₁于点O，连接OD．

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，

∴四边形ACC₁A₁为矩形，可得点O为A₁C的中点．

∵D为BC中点，得DO为△A₁BC中位线，

∴A₁B∥OD．

∵OD⊆平面ADC₁，A₁B⊈平面ADC₁，

∴A₁B∥平面ADC₁．…（4分）

（Ⅱ）∵底面ABC正三角形，D是BC的中点

∴AD⊥CD

∵CC₁⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴CC₁⊥AD．

∵CC₁∩CD=C，∴AD⊥平面DCC₁，

∵AD⊆平面ADC₁，∴平面ADC₁⊥平面DCC₁．…（9分）

（Ⅲ）假设在侧棱CC₁上存在一点E，使三棱锥C-ADE的体积是[9/8]，设CE=m

∵三棱锥C-ADE的体积V_C-ADE=V_A-CDE

∴[1/3]×[1/2]×CD×CE×AD=[9/8]，得[1/3]×[1/2]×[3/2]×m×

3

3

2=[9/8]．

∴m=

3，即CE=

3

∴在侧棱CC₁上存在一点E，当CE=

3时，三棱锥C-ADE的体积是[9/8]．…（14分）