圆锥的高为1,底面半径为√3,过圆锥顶点的截面面积最大是?

2个回答

  • 最大的面积为什么不是轴截面的三角形的面积√3?这是因为,

    截面如果不垂直于底面,截面三角形的底固然小了,可是高却

    增大了.二者的乘积可能比前者的大些.下面予以证明.

    设截面三角形VAB,AB是底面圆的弦.设弦心距OC,则OC^2=OB^2-BC^2.

    令BC=x,则有:OC^2=3-x^2.VC^2=VO^2+OC^2=1+3-x^2=4-x^2.

    OC=√(3-x^2),VC=√(4-x^2).于是截面VAB的面积S=1/2*AB*VC

    =1/2*2x*√(4-x^2)=√[x^2*(4-x^2)].

    因0≤x≤√3,0≤x^2≤3,4-x^≥1>0.由基本不等式得:

    √[x^2*(4-x^2)]≤[(x^2+(4-x^2))/2=2.即S有最大值2,

    当x^2=4-x^2,即x=√2时取得最大值.

    所以,最大面积的截面不是轴截面.

    为具一般性,设底面半径为r,高为h,则OC^2=r^2-x^2.

    VC^2=VO^2+OC^2=h^2+r^2-x^2

    于是截面VAB的面积S=1/2*AB*VC=1/2*2x*√(h^2+r^2-x^2)

    =√[x^2*( h^2+r^2-x^2)]

    ≤[(x^2+( h^2+r^2-x^2))/2=( h^2+r^2)/2.

    此时,x=√[( h^2+r^2)/2.]

    设圆锥的母线为l,则此时,S(max)=( h^2+r^2)/2=l^2/2,

    可记为:母线平方的一半:

    x=√[( h^2+r^2)/2.]=√2/2*l,2x=√2l.

    可记为:底是母线的√2倍.

    由此可见,当底面直径恰好为母线的√2倍时,轴截面的面积就是最大的面积了.

    那么,既然截面的底是母线的√2倍,这是一个什么样的三角形呢?正是一个直角等腰三角形.因此我们可以得到如下的结论:(1)当圆锥的轴截面三角形的顶角是钝角时,过顶点的最大面积的截面不是轴截面,而是截面三角形呈直角等腰三角形的那个截面的面积最大,这个最大面积是母线平方的一半:(2)当圆锥的轴截面三角形的顶角是直角或锐角时,过顶点的最大面积的截面就是轴截面.