Question

已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．

Answer 1

解题思路：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；

（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围．

（3）构u造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．

（1）证明：∵f（x）=e^x+e^-x，

∴f（-x）=e^-x+e^x=f（x），

∴f（x）是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，

即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1，

∵x＞0，

∴e^x+e^-x-1＞0，

即m≤

e−x−1

ex+e−x−1在（0，+∞）上恒成立，

设t=e^x，（t＞1），则m≤[1−t

t2−t+1在（1，+∞）上恒成立，

∵

1−t

t2−t+1=-

t−1

(t−1)2+(t−1)+1=-

1

t−1+

1/t−1+1]≥−

1

3，当且仅当t=2，即x=ln2时等号成立，

∴m≤−

1

3；

（3）令g（x）=e^x+e^-x-a（-x³+3x），

则g′（x）=e^x-e^-x+3a（x²-1），

当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，

故此时g（x）的最小值g（1）=e+[1/e]-2a，

由于存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立，

故e+[1/e]-2a＜0，

即a＞[1/2]（e+[1/e]），

令h（x）=x-（e-1）lnx-1，

则h′（x）=1-[e−1/x]，

由h′（x）=1-[e−1/x]=0，解得x=e-1，

①当0＜x＜e-1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，

②当x＞e-1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，

∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e-1），

注意到h（1）=h（e）=0，

∴当x∈（1，e-1）⊆（0，e-1）时，h（e-1）≤h（x）＜h（1）=0，

当x∈（e-1，e）⊆（e-1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，

∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．

①a∈（[1/2]（e+[1/e]），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a-1＜（e-1）lna，从而a^e-1＞e^a-1，

②当a=e时，a^e-1=e^a-1，

③当a∈（e，+∞），e）⊆（e-1，+∞）时，当a＞e-1时，h（a）＞h（e）=0，即a-1＞（e-1）lna，从而a^e-1＜e^a-1．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数恒成立问题；不等式比较大小．

考点点评： 本题考查函数奇偶性的判断、最值以及恒成立问题的处理方法，关键是借助于导数解答本题．