Question

已知各项均为正数的数列{a n }满足： a 1 =3， a n+1 + a n n+1 = 8 a n+1 - a n

Answer 1

（I）∵

a n+1 + a n

n+1 =

8

a n+1 - a n ，

∴a _n+1 ²-a _n ²=8（n+1）

∴a _n ²=（a _n ²-a _n-1 ²）+（a _n-1 ²-a _n-2 ²）+…+（a ₂ ²-a ₁ ²）+a ₁ ²=8[n+（n-1）+…+2]+9=（2n+1） ²
∴a _n=2n+1．…（5分）

（II）

b 2n =

1

a 2n =

1

(2n+1) 2 ＜

1

4n(n+1) =

1

4 (

1

n -

1

n+1 ) ∴ S n ＜

1

4 [(1-

1

2 )+(

1

2 -

1

3 )+…+(

1

n -

1

n+1 )]=

1

4 (1-

1

n+1 )＜

1

4 …（12分）