解题思路:(1)当m=3时,求根据一元二次不等式的解法即可求不等式f(x)≥0的解集;
(2)根据不等式恒成立即可求m的最大值;
(3)根据函数奇偶性的定义即可判断g(x)的奇偶性.
(1)当m=3时,由f(x)=x2+2x-3≥0,
解得x≤-3或x≥1,
故不等式f(x)≥0的解集为{x|x≤-3或x≥1}.
(2)配方得,f(x)=(x+1)2-m-1,
∵x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,
即(x+1)2-m-1≥0恒成立,
∴m≤(x+1)2-1
令g(x)=(x+1)2-1,对称轴为x=-1,
则g(x)min=g(1)=(1+1)2−1=3,
∴m≤3,故m的最大值为3.
(3)由(2)知,f(x)=x2+2x-3,g(x)=
x2+2x−3
x+log2
1−x
1+x−2
由
x≠0
1−x
1+x>0解得x∈(-1,0)∪(0,1),
故g(x)的定义域关于原点对称.
又g(x)=x−
3
x+2+log2
1−x
1+x−2=x−
3
x+log2
1−x
1+x,g(−x)=−x−
3
−x+log2
1+x
1−x=−(x−
3
x+log2
1−x
1+x)
∴g(-x)=-g(x)
故g(x)是奇函数.
点评:
本题考点: 函数奇偶性的判断;对数的运算性质;对数函数图象与性质的综合应用.
考点点评: 本题主要考查不等式的求解以及函数奇偶性的判断,以及不等式恒成立问题,综合性较强.