若实数a、b、c满足a2+b2+c2=9,那么代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是______.

2个回答

  • 解题思路:由展开代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,然后将其转化为两数差的形式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=27-(a+b+c)2

    最后根据不等式的性质a2+b2≥2ab来解答.

    ∵a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc,

    ∴-2ab-2ac-2bc=a2+b2+c2-(a+b+c)2

    ∵(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc ②

    ②代入①,得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2
    =3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2
    =3(a2+b2+c2)-(a+b+c)2

    =3×9-(a+b+c)2=27-(a+b+c)2

    ∵(a+b+c)2≥0,

    ∴其值最小为0,

    故原式最大值为27.

    故答案为:27.

    点评:

    本题考点: 不等式的性质.

    考点点评: 本题主要考查了不等式的基本性质a2+b2≥2ab.在解答此题时,还利用了非负数的性质(a+b+c)2≥0.