先证明：对任意两条弦,较长的弦对应的弓形面积较大.
这点是容易证明的,只要把这两条弦的旋转到平行位置,就立刻得到结论.
下面只需要证明：当弦垂直于该点与圆心的连线时,弦最短.
设弦被那定点分成的两条线段长分别为a,b,
由相交弦定理,ab为定值,由均值不等式知a + b不小于(ab)的算术根的2倍,当且仅当a=b时,a+b最小.
并且容易看出,当且仅当弦垂直于该点与圆心的连线,才有a=b.
这样就证明了结论.
x^2 + y^2 - 2xy = (x-y)^2 不小于0,
所以x^2 + y^2不小于2xy.
设a = x^2,b = y^2,(这里悄悄地增加了一个条件,a,b都非负)
就有a + b 不小于2*根号(ab).
这就是最简单的均值不等式.
当且仅当a = b时等号成立.