1.由于重心到顶点的距离与到对边中点的距离比为2：1
设P点坐标为：(x,y)
有AB中心坐标为：(0,-1)
重心G的坐标为:(x/3,1+[(y+1)/3])=(X,Y) 得x=3X,y=3(Y-1)-1
而又y=x²
所以有3(Y-1)-1=(3X)²
即3Y-4=9X²这就是重心的轨迹方程
2.
M交N即联立的方程的公共解
x-y²=1,x-y=1
代入x=1+y有1+y-y²=1 得y=0或者1
y=0时,x=1
y=1时,x=0
M∩N={0,1}
3.关于原点对称,即x变成-x,y变成-y.
有直线l'为：-2x-y+2=0 即y=2-2x①
它与椭圆联立方程x²+y²/4=1②
①代入②得两个交点A,B的横坐标.
要使PAB面积为1/2,因为AB长可以计算出来,所以只需要P到AB的距离是一个定值即可.
①代入②的方程为：x²+(1-x)²=1 即 2x²-2x=0
解得x1=0,x2=1
y1=2,y2=0
画图知一个为椭圆上顶点,令一个为右顶点.
A,B横坐标的差为两根之差=√△/|a|=2/2=1
AB距离为：√(X1-X2)²+(Y1-Y2)²
①知Y1-Y2=-2(X1-X2)
∴AB距离为√1+4=√5
那么P到AB的距离为：1/2 *2/√5=1/√5
由点到直线的距离公式知(设P点坐标为x,y)
1/√5=||
太晚了,睡觉了,以后再解