（1）n=1时,左边=3分之1,右边=3分之1,所以结论成立
（2）假设n=k时,结论成立,即：
1×3分之一+3×5分之一+5×7分之一+...+(2k-1)×(2k+1)分之1=2k+1分之k
则当n=k+1时,
左边=1×3分之一+3×5分之一+5×7分之一+...+(2k-1)×(2k+1)分之1+(2k+1)×(2k+3)分之1
=2k+1分之k+(2k+1)×(2k+3)分之1
=(2k+1)×(2k+3)分之[k×(2k+3)+1]
=(2k+1)×(2k+3)分之（2k²+3k+1）
=(2k+1)×(2k+3)分之[(2k+1)×（k+1）]
=(2k+3)分之（k+1）
=[2×(k+1)+1]分之（k+1）
所以,当n=k+1时,结论也成立
从而,对一切正整数n,
1×3分之一+3×5分之一+5×7分之一+...+(2n-1)×(2n+1)分之1=2n+1分之n