Question

设过抛物线y2=2px的焦点且倾斜角为45°的直线,交抛物线于A,B两点,若弦AB的中垂线恰过点（5,0）,求抛物线方程

Answer 1

焦点(p/2,0)

过抛物线的焦点且倾斜角为45°的直线

k=tan45=1

所以y=x-p/2

代入y^2=2px

x^2-3px+p^2/4=0

x1+x2=3p

y1+y2=(x1-p/2)+(x2-p/2)=x1+x2-p=2p

所以AB中点是(3p/2,p)

AB斜率=1

所以中垂线斜率=-1

过(3p/2,p)

y-p=-(x-3p/2)

中垂线恰过点（5,0）

0-p=-(5-3p/2)

p=2

y^2=4x