Question

已知数列{a n }满足 a 1 =1， a 2 =2， a n+2 =(1+co s 2 nπ 2 )• a n +s

Answer 1

因为a ₁=1，a ₂=2，所以a ₃=（1+cos ²

π

2 ）a ₁+sin ²

π

2 =a ₁+1=2，a ₄=（1+cos ²π）a ₂+sin ²π=2a ₂=4．

一般地，当n=2k-1（k∈N ^*）时，a _2k+1=[1+cos ²

(2k-1)π

2 ]a _2k-1+sin ²

(2k-1)π

2 =a _2k-1+1，即a _2k+1-a _2k-1=1．

所以数列{a _2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a _2k-1=k．

当n=2k（k∈N ^*）时，a _2k+2=（1+cos ²

2kπ

2 ）a _2k+sin ²

2kπ

2 =2a _2k．

所以数列{a _2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a _2k=2 ^k．

该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77

故答案为：77