已知函数f(x)= +x+(a-1)lnx+15a,其中a<0,且a≠-1.

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  • 已知函数f(x)=

    +x+(a-1)lnx+15a,其中a<0,且a≠-1.

    (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;

    (Ⅱ)设函数

    (e是自然对数的底数)。是否存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.

    (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),

    (1)若-1<a<0,则当0<x<-a时,f′(x)>0;

    当-a<x<1时,f′(x)<0;

    当x>1时,f′(x)>0,

    故f(x)分别在(0,-a),(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减;

    (2)若a<-1,仿(1)可得f(x)分别在(0,1),(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减;

    (Ⅱ)存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数,

    事实上,设h(x)=(-2x 3+3ax 2+6ax-4a 2-6a)e x(x∈R),

    则h′(x)=[-2x 3+3(a-2)x 2+12ax-4a 2]e x

    再设m(x)=-2x 3+3(a-2)x 2+12ax-4a 2(x∈R),

    则当g(x)在[a,-a]上单调递减时,h(x)必在[a,0]上单调递减,所以h′(a)≤0,

    由于e x>0,因此m(a)≤0,

    而m(a)=a 2(a+2),所以a≤-2,

    此时,显然有g(x)在[a,-a]上为减函数,当且仅当f(x)在[1,-a]上为减函数,h(x)在[a,1]上为减函数,且h(1)≥e·f(1),

    由(Ⅰ)知,当a≤-2时,f(x)在[1,-a]上为减函数, ①

    ,②

    不难知道,

    因m′(x)=-6x 2+6(a-2)x+12a=-6(x+2)(x-a),

    令 m′(x)=0,则x=a,或x=-2,而a≤-2,于是

    (1)当a<-2时,若a<x<-2,则m′(x)>0;

    若-2<x<1,则m′(x)<0,

    因而m(x)在(a,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减;

    (2)当a=-2时;m′(x)≤0,m(x)在(-2,1)上单调递减;

    综合(1)、(2)知,当a≤-2时,m(x)在[a,1]上的最大值为m(-2)=-4a 2-12a-8,

    所以,

    ,③

    又对x∈[a,1],m(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得,

    亦即h′(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得.

    因此,当a≤-2时,h(x)在[a,1]上为减函数,

    从而由①,②, ③知,-3≤a≤-2;

    综上所述,存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数,且a的取值范围为[-3,-2].